به دلیل رشد بسیار قوی این تابع از مرتبه‌ای به بعد تا بینهایت نسبت به سایر توابع، ایم آن را در فارسی به تابع متعالی می‌شناسیم (گویا به تعالی رشیده است!). رشد این تابع از تابع نمایی (هایپر) و حتی توابع فاکتوریلی بیشتر است. از آنجاییکه این تابع در صفر تعریف نشده است ولی اطراف صفر حدی برابر 1 دارد نمودار آن برای مقادیر مثبت به صورت زیر اثبات می‌شود. این تابع برای مقادیر منفی بحث دیگری دارد که در این پست وارد آن نشده‌ایم.

در بخش دوم با یک تابع تو در تو به تعداد نامتناهی طرف هستیم که می‌دانیم الگوی ساده‌سازی این توابع، کنار گذاشتن جمله اول و نامگذاری سایر جملات به همان اسم اولیه (در اینجا y) است. در ادامه برای مشتق گیری ابتدا لگاریتم طرفین را بعد از ساده سازی اولیه میگیریم.

 

رسم نمودار منحنی تابع متعالی

مشتق گیری از توابع متعالی خاص